y = f(x +
⊿x) ÷ f(x).
(2.1)
微 积 开 概
念
及其在
自然科学与社会科学中的意义
包学行 文
一、微积开概念的产生
微积开概念的产生请详见“类星体是微积开概念的发源地”一文。
二、微积开的基本概念
（一）增率 设函数 y =
f(x) > 0, 它在 x 点的某邻域上有定义，在该邻域内当
x 得到增量 ⊿x
时，则增率为
y = f(x +
⊿x) ÷ f(x).
(2.1)
（二）微对数 设函数 y = f(x) > 0, 它在点 x0 处若极限
(2.2)
存在，则此极限就称作 f(x) 在点 x0 处的微对数，记作
yv|x=x0=
fv(x0)=
. (2.3)
如果每一个值 x0∈D1 都唯一确定一个值 fv(x0)，则 f(x) 的微对数仍为定义在D1域上的 x 的函数，记作
| yv = fv(x)= |  |
. (2.4) |
叫做 f(x) 的微对数函数，不过通常仍把 fv(x0)了与 fv(x) 统称为微对数。
定理１ 设 f'(x) 存在，且 f(x) ≠0，则 fv(x)存在，并有
fv(x)＝ |
|
。 （２.５） |
定 理１证明 根据微对数的定义有 f(x) > 0，则
fv(x)＝ |
|
|
＝ |
 |
|
| ＝ |  |
|
| ＝ |  |
|
| ＝ | [ln f(x)]' ÷ |
|
| ＝ |  |
|
| ＝ |
|
|
| ＝ |
|
。 |
因为f'(x) 存在，并f(x) ≠0，所以也存在，则 fv(x)存在。证毕。
（三）微对数在人口统计学中的意义 人口增展率 ZL 的定义为[1]
ZL = |
 |
， (规定 ⊿t 取一年） (2.6) |
式中 R(t) 为在时间 t 时的人口数。
如果人口增展率是时间 t
的函数，要虑瞬时人口增展率 SZL , 则对(3.1)式求
⊿t→0 的极限，得
SZL = |
|
|
| = |  |
|
| = |  |
|
| = |  |
|
| = |  |
。 (2.7) |
因此可知：微对数在人口统计学中的意义为瞬时人口增展率。
（四）微对数在其它学科中的意义简述 此外推导一下即可明白：
微对数在放射性物质的衰变过程中的意义为衰变系数，
微对数在银行计息中的意义为利率，
微对数在缆绳绕木桩牵力变化中的意义为摩擦系数，
等等。
（五）微根 设函数 y = f(x) > 0, 它在点 x0 处若极限
(2.8)
存在，则此极限就称作 f(x) 在点 x0 处的微根，记作
y^|x=x0=
f^(x0)=
. (2.9)
如果每一个值 x0∈D2 都唯一确定一个值 f^(x0)，则 f(x) 的微根仍为定义在D2域上的 x 的函数，记作
y^=
f^(x)=
. (2.9)
叫做 f(x) 的微根函数，不过通常仍把 f^(x0)了与 f^(x) 统称为微根。
定理２ 设 f'(x) 存在，且 f(x) ≠0，则 f^(x)存在，并有
f^(x)＝ |
|
= exp fv(x)。
(2.10)
|
定理２证明 根据微根的定义有 f(x) > 0，则
f^(x)＝ |
|
||||
＝ |
  |
||||
| ＝ | exp ln | |
|||
| ＝ | exp | |
ln | |
|
| ＝ | exp |
|
|||
| ＝ | exp[ln f(x)]' |
||||
| ＝ |  |
||||
| ＝ | exp fv(x)。
|
||||
因为f'(x) 存在，并f(x) ≠0，所以也存在，则 f^(x)存在。证毕。
（五）微开 为了分析函数增率在瞬间的变化情况，对增率（2.1)式取
的极限,因 f(x) > 0 ，所以有
y = f(x+⊿x)÷ f(x)
= exp ln [f(x+⊿x)÷ f(x)]
= exp [ lnf(x+⊿x)- lnf(x)], (2.11)
根据增量与微分的关系[3]，令 u = lnf(x),则
lnf(x+⊿x)- lnf(x)
=⊿u
= u'⊿x+O(⊿x)
= [lnf(x)]'⊿x+O(⊿x)
| = |  |
⊿x+O(⊿x) |
| = | fv(x) | ⊿x+O(⊿x), (2.12) |
将（2.12）式代入（2.11）式，得
| y= |
exp[fv(x) | ⊿x+O(⊿x)], (2.13) |
当取的极限，忽略高阶无限小O(⊿x)，得微开为
y
= exp[fv(x)⊿x]
= |
 |
= 1+f v(x)⊿x
= 1+f
v(x)dx, ()
(2.14)
在上（2.14）式中的最后一步式称为微开的底式，此外还有微开的幂式与指式，待以后再介绍。
(未完待续）
