类星体是微积开概念的发源地
包学行 文
为什么说类星体是微积开概念的发源地呢？因为最初的微积开概念是在思考类星体问题而产生的。
一微对数概念的萌芽
1975年的一天，我看到了《物理学的未知世界》一书，其中一段关于类星体的描述吸引了我，当时我曾将此段摘于我的笔记本上：
宇宙扩张 红移规律使我们能够精确地计算出……，计算结果是，星系间的距离每增加1024厘米，离散速度每秒钟就加快55公里。
当时我还不知道计算星系距离与红移的关系的哈勃定律的，因很想马上算一算星系距离与红移的关系，我想星光在辽阔的宇宙空间传播，总不可能一点能量也不损耗，设星光经传单位距离后，光子的能量有一非常小的损耗率 b，也就是星光经传播单位距离后能量变化倍率 1-b， 而红移为 Z 的星光从发出传播至地球其能量的变化倍率为
1/(1+Z)，
设以 c 为单位距离，那么星系距离 r 与红移 Z 的关系为
r = c log(1-b)[ 1 / (1 + Z) ], （1）
后来知道了哈勃定律后，才知与我的上式不一样，我当时因还未学过对数的换底公式，就将上式原封不动地写信告诉了紫金山天文台。紫金山天文台回信告诉我对此式非常感兴趣，他们用大量的QSO数据（我当时猜想QSO就是类星体）对该式作了验证。
后来我就把此事告诉了我的几位朋友，他们分别是工农兵学员与高中生。是工农兵学员的朋友说这个问题我们是用微分方程解的，你怎么用初等数学的对数方法解出了；是高中生的朋友说你这个公式用对数换底公式换底后会简化。
是工农兵学员的朋友用微分方程再解了一次这个问题，是高中生的朋友用对数换底公式将我的公式换底后，二人的结果完全吻合。
从此我就开始自学高等数学，后来：我用幂级数展开了（1）式，发现在 Z << 1 时，匆略高次项保留一次项后（1）式即简化为哈勃定律。我又找到了中国科技大学天体物理组的一篇关于类星体统计分析的论文，他们得出的结论为：红移与距离的关系是
r ∝ Z － 0.19Z2， （2）
在 Z > 1 时与哈勃的线性关系有明显的偏差。
但我在比较了（1）式展开式系数与（2）式系数的差异后，使我意识到类星体的红移 Z 中不仅仅只包含与距离有关的红移，而且还包含与引力有关的红移，只有分离出了引力红移后，才能得出正确的类星体距离。
于是我就要寻找引力红移公式，但手头一时找不到，只好自已推导，结果在推导中产生了定积开（它不是定积分）概念。
二定积开概念的产生
为了自已推导天体的引力红移公式，我按广义相对论的质能关系，具有能量 hv 的光子应具有质量 m = hv/c2 , 那么一个质量为 m 的光子脱离质量为 M ，尺度半径为 R 的天体的表面至 ∞ 远处必得作功消耗能量，其耗能量值为
上式中 G 为万有引力常数， h 为普郎克常数。
我在上式推导中假定了 m 不变，实际上光子脱离天体的过程中随着作功的消耗其质量 m 也在变小，但由此推出的引力红移公式
却与广义相对论的引力红移公式一致。因为当时我未找到广义相对论的引力红移公式，因此并不知道这一点。用（4）式计算太阳的引力红移与实际一致，但用（4）式计算类星体的引力红移却不能吻合（2）式的系数。
因此我就考虑要计算光子 m 在变化过程中对（3）式的积分。这本是一个用微分方程解的问题，但我还未自学到微分方程部分，用定积分又解不出了。我用如下的方法解决了这个问题：
设 m=hv 为光子的瞬时质量， v 为光子在 r 处时的瞬时频率，那么光子在距星体中心 r 处再远离至 r+dr 处应作功
在 r+dr 处剩余的能量为
设光子在星体表面距星体中心为 R 处的频率为 v0 ，那么光子脱离至 ∞ 处它的能量将变为
尽管我当时还不知连乘积符号，现在可把上式表示为
这就产生了一种和定积分有点类同的运算，定积分计算的是无穷多项的和，而（8）式计算的是无穷多个因子的积，我当时把这种运算叫作乘积分，并把上述（8）式记作
并证明了计算乘积分的通用公式为
因此求得（8）或（9）式的值为
对上式两边除 hv0 得
那么引力红移为
用（13）式，分离了类星体的红移中的引力分量后，得到类星体距离与星系距离为同一数量级，求得类星体 3C273 的距离刚好落在本星系团内，求得其角径也与月掩星测得的角径一致。
将（13）式展开为幂级数，在 GM/(c2R) 很小时，忽略高次项，保留一次项即得到广义相对论的引力红移公式。
三微积开概念的产生
后来我分析了定积分与乘积分的关系，发现乘积分的更确切应叫一个与定积分对应的名称定积开，因为与微分对应有微开，与微商对应有微对数及微根二种，与不定积分对应有不定积开，与微分方程对应的微开方程有二种，一种为微对数方程，一种为微根方程。
我们都知道导数（微商）为常数的问题，如恒速运动的位移与时间的关系可用乘法计算，逆运算用除法；导数（微商）为非常数的问题，如变速运动位移与时间的关系可用定积分计算。
上述我求解的类星体的红移与距离公式及引力红移公式问题，对应地为：
微对数为常数的问题，如类星体的红移与距离关系中，红移与时间的关系可用乘方计算，逆运算用对数；微对数为非常数的问题，如引力红移公式可用定积开计算。
我当时想类星体的红移与距离公式及引力红移公式问题本是用微分方程解的问题，在微积开概念中都不用方程解，那么微积开概念中的微开方程将可解什么问题呢？正在我百思不得其解的时候，一个巧遇使我得到了线索。
因我的父亲数学很好，他退休后仍为《温州医学院学报》审稿，这天他正在审一篇有关统计的稿件，桌上正摊开一本参考书《卫生统计学》，翻在人口增展率 的定义这一页上，我发现人口增展率的定义就是微对数。
于是我发现一个封闭域中的人口的演化，将与弹簧振子或 RLC 充放电电路有对应关系，弹簧振子或 RLC 充放电电路的描述微分方程为
my''+ky'+cy=f,
与 Li''+Ri'+Ci=q,
而一个封闭域中的人口的演化的微根方程为
[R(t)^^]m[R(t)^]kR(t)c=R(t-tu),
上式中R(t)为时间t时的人口，R(t)^为一阶微根，R(t)^^为二阶微根， m 称为人口素质指数,k为社会作用指数，c 为封闭域的容量指数，tu为平均育龄。
（详见“微积开概念及其在自然科学与社会科学中的意义”一文）
