基本积分关系图

三角、双曲函数基本积分关系图

包学行文

我们知道有一种六角形的三角函数关系图可以帮助我们记忆三角函数基本公式，这是因为人脑对规则图形的记忆能力总是远胜于对罗唆公式的记忆能力的。

能否建立一种三角、双曲函数基本积分关系图来帮助大家在学习中便于记忆三角、双曲函数基本积分公式呢？下面就介绍一种这样的图。

j1sjjfgx.gif (1915 bytes) j2sqjfgx.gif (1948 bytes)

一、结构在正六角形与四边形组合的图形中如（图1）填上三角函数符号就是三角函数积分关系图，如（图2）填上双曲函数符号就是双曲函数积分关系图。

二、用法

1. 推三角基本积分公式的规律

1）在（图1）的4个120°的实线转弯结构中有关系

上方三角函数的积分

= ± ln(

转角处函数

下方的
三角函数

) + C

如果120°的实线转弯中含有负斜率的斜线，则积分结果中含有负号；转角处无函数，则负号在 ln 号前，转角处有函数，则负号在该函数之后。由此推得

sec x dx = ln( sec x + tg x ) + C

csc x dx = ln( csc x - ctg x ) + C

tg x dx = - ln cos x + C

ctg x dx = ln sinc x + C

2）在（图1）上方的2个120°的实线转弯结构中有关系

转角处函数与另一端函数乘积的积分

= ±

另一端函数

+ C

如果120°的实线转弯中含有负斜率的斜线，则积分结果前带负号。由此推得

sec² x dx = tg x + C

sec x tg x dx = sec x + C

csc² x dx = - ctg x + C

csc x ctg x dx = - csc x + C

2. 推三角基本积分公式的规律

1）在（图2）下方的2个120°的实线转弯结构中有关系

上方双曲函数的积分

= ln

下方的
双曲函数

+ C

　由此推得　

th x dx = ln ch x + C

cth x dx = ln sh x + C

2）在（图2）上方的2个120°的实线转弯结构中有关系

转角处函数与另一端函数乘积的积分

= (±1) (±1)

另一端函数

+ C

在上式右边两个(±1)的符号可如此决定：

第一个(±1)确定，若上式左边的所谓“另一端函数”，取上端的为正号，取下端的为负号。第二个(±1)确定，如果120°的实线转弯下端向左转，则取正号，如果120°的实线转弯下端向右转，则取负号。由此推得

sch² x dx = th x + C

sch x th x dx = - sch x + C

csch² x dx = - cth x + C

csch x cth x dx = - csch x + C

这样共推出 14条积分公式，它虽然没有包括更基本的 sin x、 cos x、 sh x、ch x 的积分公式，但这四个函数的积分公式很容易记忆，若再记住

sch x dx = 2tg^-1 e^x + C

csch x dx = ln th ( x / 2 ) + C

则三角、双曲函数的20条基本积分公式都可记住了。当然这个图还有待进一步的完善。

请留言