前几天在温州市图书馆翻资料，看到了数学家陈省身赠给温州市图书馆的一本书，书名是《数论妙趣──数学女王的盛情款待》，陈省身在该书上题了：

　　“迎接２０００数学年
　　　　　　陈省身 1997”

　　该书为谈祥柏译，[美]阿尔伯特·Ｈ·贝勒著，上海教育出版社1997年版。

　　我被该书关于“欧拉函数”的一章所吸引，欧拉函数的定义为：

　　小于自然数Ｎ并与Ｎ互质(除１以外无其它公因子)的自然数的个数用函数Ф(N)表示，称为欧拉函数。

　　任意的自然数Ｎ分解为素数幂的连乘积的一般表达式是

则

上（２）式中并没有把欧拉函数表示为Ｎ的显函数。

　　根据欧拉函数的定义，对于任意素数p有

如果设自然数N的因数个数函数为f(N)，则它们间的关系可由下树表示

　　　　　　　　小于或等于N的自然数
　　　　　　　　/ 　　　　　　　　\
　　　　　N的因数　　　　　　　　 非N的因数
　　　　<个数为f(N)> 　　　　　　/ 　　　　　\
　　　　/ 　　　　\ 　　　N的(除1外)互质数 　非N的因数但
N的素因数　 N的非素因数 　　<个数为Ф(N)-1> 　与N有公因子

　　但上树还有一不理想之外，这就是通常把１看成是自然数的因数，而１与Ｎ也没有其它公因子也是一个Ｎ的互质数。

　　参考文：因数个数函数；因数个数函数的推导证明。