（2）素数全体的表达方程——方程筛
是否找到了全体素数
包学行 文
摘要 如果一种方程，它的解集为全体素数，我们称用该方程可以找到全体素数,称该方程为方程筛。
关键词 素数；因数；合数。
定义１ 如果自然数 n 中所含的除 1 与自身外的可整除它的因子的个数函数 F(p) 在大于１的自然数域上有定义，若方程：
F(p) = 0, (1)
的解集｛ p ｝为全体素数，则称方程 (1) 为方程筛。
最近作者为推导素数的一般公式，推得了几个方程筛。其中收敛较快的一个方程筛为
（2）
上方程（2）中的
（3）
为了验证经复杂而繁锁过程推得的方程筛 (2) 用实际数据代入能否吻合，在CEC-II、386、486、586等微型计算机上对方程 (2) 的左边从 p = 2 到 p = 2014 作了验证，表１为所求得的部分数例。现在 586 微型计算机已很普及，那一位读者能为方程筛 (2) 寻到一个否定的例子将不胜感激，作者所用的计算程序(Basic)如下：
10 GOTO 40
20 REM 求F0子程序
f0# = 2 / m0% * SIN(pai# * m0% / m%)
f0# = f0# + SIN(pai# * (m% - m0%) / m%) / (m% - m0%)
f0# = f0# + SIN(pai# * (m% + m0%) / m%) / (m% + m0%)
f0# = f0# * COS(2 * pai# * m0% / m% * n%)
RETURN
30 y1# = 0
FOR m% = 2 TO n%
y1# = y1# + 1 / m%
NEXT
y1# = y1# * 2 * pai# ‘方程(2)先乘一常数，以便最后总除该常数
REM 求方程(2)左边第二重括号内的值
FOR m% = 2 TO n%
REM 求方程(2)左边最内括号中第一项
FOR m0% = 1 TO m% - 1
GOSUB 20
y1# = y1# + f0#
NEXT m0%
REM 求方程(2)左边最内括号中第二项
FOR m0% = m% + 1 TO n% + 1
GOSUB 20
y1# = y1# + f0#
NEXT m0%
PRINT n%; "."; m% ‘计算第二重括号内的值进度显示
NEXT m%
y2# = y1# / 2 / pai# - .5
y# = INT(y2#)
RETURN
40 REM 从na%起至nb%止，求方程左边值并输出程序
INPUT "na%,nb%="; na%, nb%
DIM y2#(nb% - na%), y#(nb% - na%)
pai# = 3.141592653589793#
FOR n% = na% TO nb%
GOSUB 30
y2#(n% - na%) = y2# ‘取整前的值
y#(n% - na%) = y#‘取整后的值
NEXT n%
45 INPUT "qing input:"; c$
IF c$ <> "bao" THEN 45 ‘输对口令“bao”才开始打印
50 FOR n% = na% TO nb%
LPRINT
LPRINT n%; :
IF y#(n% - na%) = 0 THEN LPRINT TAB(11); y#(n% - na%); TAB(16); y2#(n% - na%) ELSE LPRINT TAB(31); y#(n% - na%); TAB(36); y2#(n% - na%)
IF n% = INT(n% / 20) * 20 THEN INPUT c$
NEXT
INPUT "print too y/n"; c$
IF c$ = "y" THEN 50
END
表１ 对方程 (2) 验证的部分数据例
p 的 |
F(p)减0.5 |
F(p) |
p中除１与自身外能 整除它的因数的个数 |
p 的 |
| 2 | 0.509295817 | 0 | 0 | 素数 |
| 3 | 0.470864452 | 0 | 0 | 素数 |
| 4 | 1.445391348 | 1 | 1 | 合数 |
| 5 | 0.426158248 | 0 | 0 | 素数 |
| 6 | 2.431555590 | 2 | 2 | 合数 |
| 7 | 0.436441852 | 0 | 0 | 素数 |
| 8 | 2.450516995 | 2 | 2 | 合数 |
| 9 | 1.434061779 | 1 | 1 | 合数 |
| 10 | 2.419171316 | 2 | 2 | 合数 |
| 11 | 0.395950710 | 0 | 0 | 素数 |
| 12 | 4.402449240 | 4 | 4 | 合数 |
| 13 | 0.408279310 | 0 | 0 | 素数 |
| 14 | 2.427298116 | 2 | 2 | 合数 |
| 15 | 2.404168328 | 2 | 2 | 合数 |
| 16 | 3.406834276 | 3 | 3 | 合数 |
| 17 | 0.381012853 | 0 | 0 | 素数 |
| 18 | 4.396558723 | 4 | 4 | 合数 |
| 19 | 0.394681340 | 0 | 0 | 素数 |
| 20 | 4.425364961 | 2 | 2 | 合数 |
| 21 | 2.388737151 | 2 | 2 | 合数 |
| 22 | 2.403555420 | 2 | 2 | 合数 |
| 23 | 0.367101387 | 0 | 0 | 素数 |
| 24 | 6.395858360 | 6 | 6 | 合数 |
| 25 | 1.381714492 | 1 | 1 | 合数 |
| 26 | 2.416729198 | 2 | 2 | 合数 |
| 2000 | 18.36161492 | 18 | 18 | 合数 |
| 2001 | 6.33716997 | 6 | 6 | 合数 |
| 2002 | 14.36251005 | 14 | 14 | 合数 |
| 2003 | 0.34181234 | 0 | 0 | 素数 |
| 2004 | 10.35791765 | 10 | 10 | 合数 |
| 2005 | 2.33857838 | 2 | 2 | 合数 |
| 2006 | 6.36072220 | 6 | 6 | 合数 |
| 2007 | 4.33669301 | 4 | 4 | 合数 |
| 2008 | 6.36473254 | 6 | 6 | 合数 |
| 2009 | 4.34194727 | 4 | 4 | 合数 |
| 2010 | 14.35482516 | 14 | 14 | 合数 |
| 2011 | 0.34029733 | 0 | 0 | 素数 |
| 2012 | 4.36208719 | 4 | 4 | 合数 |
| 2013 | 6.33817836 | 6 | 6 | 合数 |
| 2014 | 6.36166168 | 6 | 6 | 合数 |
